Основы вычислительной математики 

В курсе рассматриваются вопросы численных методов анализа и линейной алгебры. Рассмотрены задачи численного дифференцирования и интегрирования, задача интерполяции, прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, Рассмотрены численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и методы решения краевых задач, а так же разностные схемы для численного решения жестких систем ОДУ.http://www.intuit.ru/studies/courses/... см. лекции в НОУ ИНТУИТ

Лекция 1. Задачи численного дифференцирования и алгебраической интерполяции. Введение. Историческая справка. Основные задачи и проблемы.

Лекция 2. Задача алгебраической интерполяции (продолжение). Теорема о существовании и единственности решения задачи алгебраической интерполяции. Остаточный член интерполяции. Разделенные разности. Интерполяционный полином в форме Ньютона. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега. Минимизация остаточного члена интерполяции. Сетки с узлами из нолей полиномов Чебышёва. Полиномы Чебышева первого рода.

Лекция 3. Задача алгебраической интерполяции (окончание) и интерполяция сплинами. Полиномы Чебышёва первого рода (окончание). Ноли полинома Чебышёва. Задача о полиноме, наименее уклоняющемся от ноля. Интерполяция сплайнами (Шонберга) Экстремальные свойства сплайна. Система уравнений для моментов кубического сплайна. Система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Метод решения системы – метод прогонки

Лекция 4. Интерполяция сплайнами (окончание). Задача численного интегрирования. Условие устойчивости прогонки – условие диагонального преобладания. Сплайны произвольной степени. Порядок и дефект сплайна. Кусочно-линейная интерполяция. Сплайны с конечным носителем (В-сплайны). В-сплайн порядков 1 и 3. Базис в пространстве сплайн-интерполяций. Интерполяция с помощью В-сплайнов. Локальные сплайны (В.С.Рябенького). Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы интерполяционного типа.

Лекция 5. Задача численного интегрирования (окончание). Численные методы линейной алгебры. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Основные квадратурные формулы – трапеций, Симпсона. Оценка погрешности формул численного интегрирования. Формула Симпсона на равномерной сетке. Погрешность формулы Симпсона. Правило 3/8. Правильные квадратурные формулы. Устойчивость задачи численного интегрирования. Повышение точности квадратурных формул – экстраполяция Ричардсона. Вычисление интегралов от функции, имеющей особенность. Квадратурные формулы Гаусса. Полиномы Лежандра. Численные методы линейной алгебры. Нормы векторов. Норма матрицы, согласованная с нормой вектора.

Лекция 6. Прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Норма матрицы, согласованная с нормой вектора. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые и итерационные методы. Метод Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента. Число обусловленности СЛАУ. Метод простых итераций. Каноническая форма записи двухслойного итерационного метода. Невязка. Условие сходимости метода простых итераций. Выбор оптимального значения итерационного параметра для систем с самосопряженной положительной матрицей. Скорость сходимости метода простых итераций с оптимальным выбором параметра.

Лекция 7. Сходимость итерационных методов решения СЛАУ. Устойчивость метода простых итераций. Двуслойный метод простой итерации с оптимальным набором параметров. Чебышевский набор итерационных параметров. Устойчивость метода простой итерации с Чебышёвским набором параметров. Упорядочевание параметров. Неявные итерационные методы, их запись в каноническом виде. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации. Энергетическая норма. Вариационные методы решения СЛАУ с самосопряженной положительной матрицей. Функционал энергии.

Лекция 8. Вариационные методы решения СЛАУ и проблема собственных решений. Функционал энергии. Эквивалентность решения задач о минимизации функционала энергии и решения СЛАУ. Метод наискорейшего спуска. Метод минимальных невязок. Метод сопряженных градиентов. Базис Крылова. Проблема собственных значений. Поиск наибольшего числа самосопряженной матрицы степенным методом.

Лекция 9. Проблема собственных значений. Самосопряженная проблема собственных значений. Метод обратной итерайии для поиска собственного числа, наиболее близкого к заданному. Метод вращений. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Скорость сходимости итерационного метода. Оптимизация метода простой итерации. Метод Ньютона (метод касательных) Геометрическая интерпретация метода простых итераций — лестница Ламерея. Геометрическая интерпретация метода Ньютона. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. 

Лекция. 10. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений (окончание). Простейшие численные методы для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений — задача Коши Сетка и сеточная функция. Аппроксимация. Простейший способ аппроксимации — метод конечных разностей. Определения аппроксимации, устойчивости и сходимости. Метод Эйлера-Коши. Аппроксимация первого порядка, исследование явного метода Эйлера на аппроксимацию. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости (основная теорема вычислительной математики, теорема П.Лакса и В.С.Рябенького).

Лекция 11. Основная теорема вычислительной математики. Идея доказательства основной теоремы. Явные методы Рунге-Кутты. Запись явного матода Рунге-Кутты через неопределенные коэффициенты. Представление метода в виде таблицы Бутчера. Исследование на аппроксимацию методов Рунге-Кутты. Условия порядка для явного двухстадийного метода. Однопараметрическое семейство явных двухстадийных методов Рунге-Кутты. Условия порядка для методов с большим числом стадий, необязательное условие Кутты. Четырехстадийные методы Рунге-Кутты — “классический” и “правило 3/8″. Барьеры Бутчера. Теорема об устойчивости методов Рунге-Кутты с правой частью системы, непрерывной по Липшицу. Устойчивость явных методов на устойчивых траектория системы ОДУ.

Лекция 12. Устойчивость методов Рунге-Кутты на различных траекториях и многочасовые методы. Устойчивость явных методов на устойчивых траектория системы ОДУ. Устойчивость численных методов на “не неустойчивой” траекториии Понятие о жестких системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ЖС ОДУ). Консервативность численных методов. Нарушение законов сохрания при использовании явных методов Рунге-Кутты на примере уравнения колебаний маятника. Необходимость построения неявных методов. Методы Адамса (линейные многошаговые методы). Исследование многошагового метода на устойчивость.

Лекция 13. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений – Краевые задачи. Основные методы решения линейной краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля. Метод построения общего решения. Метод разностной прогонки. Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации – аппроксимация Нумерова. Методы решения нелинейных краевых задач. Сведение к задаче Коши. Метод стрельбы. Метод линеаризации (метод Ньютона).